ตัวประกอบ หมายถึง จำนวนนับที่หารจำนวนนับที่เรากำหนดให้ได้ลงตัว เช่น a จะเป็นตัวประกอบของ b ก็ต่อเมื่อ b หารด้วย a
ลงตัว หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งก็คือ a หาร b ลงตัว
ตัวอย่าง
30 หารด้วย 6 ลงตัว แสดงว่า 6 เป็นตัวประกอบของ 30 ในขณะที่ 30 หารด้วย 4 ไม่ลงตัว แสดงว่า 4 ไม่เป็นตัวประกอบของ 30 เป็นต้น
หรือ
จำนวนที่หาร 18 ลงตัวประกอบด้วย 1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18 แสดงว่า 1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18 เป็นตัวประกอบของ 18
จำนวนเฉพาะ หมายถึง จำนวนที่มีตัวประกอบเพียง 2 ตัว คือ 1 กับตัวของมันเอง
การหาตัวประกอบของจำนวนนับใด ๆ จะพบว่า บางจำนวนที่ตัวประกอบเพียง 1 ตัว บางจำนวนมีตัวประกอบ 2 ตัว ในขณะที่บางตัวมีตัวประกอบมากกว่า 2 ตัว
1 มีตัวประกอบ 1 ตัว คือ 1
6 มีตัวประกอบ 4 คือ 1 , 2 , 3 , 6
2 มีตัวประกอบ 2 คือ 1 , 2 หรืออีกนัยหนึ่งว่า 2 มีตัวประกอบ 2 คือ 1 กับ ตัวของมันเอง
3 มีตัวประกอบ 2 คือ 1 , 3 หรืออีกนัยหนึ่งว่า 3 มีตัวประกอบ 2 คือ 1 กับ ตัวของมันเอง
จากตัวอย่างด้านบน เราพบว่า 1 มีตัวประกอบ 1 ตัว 6 มีตัวประกอบ 4 ตัว ในขณะที่ 2 และ 3 มีตัวประกอบ 2 ตัว คือ 1 กับ ตัวของมันเอง เราเรียกจำนวนที่มีตัวประกอบเพียง 2 ตัวนี้ว่า จำนวนเฉพาะ
ตัวประกอบเฉพาะ ตัวประกอบของจำนวนนับใดที่เป็นจำนวนเฉพาะ
การหาตัวประกอบเฉพาะของจำนวนนับใด ๆ นั้น เราจะต้องหาตัวประกอบทั้งหมดของจำนวนนับนั้น ๆก่อน จากนั้นจึงค่อยพิจารณา ตัวประกอบเหล่านั้นว่า มีจำนวนใดเป็นจำนวนเฉพาะบ้าง ซึ่งจำนวนเฉพาะเหล่านั้นเราเรีนกว่า ตัวประกอบเฉพาะ
ตัวอย่าง
ตัวประกอบของ 12 ประกอบ 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12
ตัวประกอบเฉพาะของ 12 ประกอบด้วย 2 , 3
ทั้งนี้เพราะว่า 2 , 3 เป็นตัวประกอบของ 12 และเป็นจำนวนเฉพาะด้วย
ตัวอย่าง
12 สามารถแยกตัวประกอบได้เป็น 2 x 2 x 3
จากตัวอย่างจะพบว่า 2 และ 3 เป็นตัวประกอบเฉพาะของ 12 ซึ่งอาจมีการคูณซ้ำกันหลายครั้งก็ได้ และการคูณซ้ำกันหลายครั้ง สามารถเขียนในรูปของเลขยกกำลังได้ กล่าวคื อเราจะแยกตัวประกอบของ 12 เป็น
x 3 แทน 2 x 2 x 3 ก็ได้ ( อ่านว่า 2 ยกกำลัง 2 )ตัวอย่างเพิ่มเติม
75 สามารถแยกตัวประกอบได้เป็น 5 x 5 x 3 หรือ
x 3100 สามารถแยกตัวประกอบได้เป็น 5 x 5 x 2 x 2 หรือ
x
การแยกตัวประกอบสามารถกระทำได้ดังนี้วิธีที่ 1 วิธีเขียนในรูปกระจายของผลคูณของตัวประกอบ
การแยกตัวประกอบโดยวิธีนี้ เป็นการนำจำนวนนับที่กำหนดมาเขยนในรูปผลคูณของตัวประกอบทีละ 2 จำนวน โดยเขียนไปเรื่อย ๆ จนกระทั่งกลายเป็นผลคูณของตัวประกอบเฉพาะ
ตัวอย่าง จงแยกตัวประกอบของ 80
80 = 8 x 10
= 2 x 4 x 2 x 5
= 2 x 2 x 2 x 2 x 5
ดังนั้น 80 = 2 x 2 x 2 x 2 x 5
หรือ 80 =
x 5วิธีที่ 2 วิธีตั้งหาร
การแยกตัวประกอบโดยวิธีตั้งหาร ใช้วิธีหารสั้น ซึ่งมีขั้นตอนง่าย ๆดังนี้
1) หารจำนวนนับที่กำหนดให้ด้วยตัวประกอบเเฉพาะของมัน
2) หารผลหารที่ได้จากข้อ 1 ด้วยตัวประกอบเฉพาะ
3) ดำเนินการเช่นเดียวกับข้อ 2 จนกระทั่งผลหารสุดท้ายมีค่าเท่ากับ 1
4) นำตัวหารทั้งหมดคูณกัน จะกลายเป็นการแยกตัวประกอบของจำนวนในข้อ 1
ตัวอย่าง จงแยกตัวประกอบของ 80
2 )80
2 )40
2 )20
2 )10
5 ) 5
1
ดังนั้น 80 = 2 x 2 x 2 x 2 x 5
หรือ 80 =
x 5 ขั้นตอนในการหาตัวหารร่วมจะต้องเริ่มจาก
1) หาตัวประกอบของจำนวนที่กำหนดให้
2) พิจารณาตัวว่าตัวประกอบใข้อ 1 ซ้ำกันหรือไม่
3) นำตัวประกอบที่ซ้ำกันเป็นตัวหารร่วม
ตัวอย่าง จงหาตัวหารร่วมของ 12 , 18
ตัวประกอบของ 12 คือ 1 , 2 , 3 , 4 ,6 , 12
ตัวประกอบของ 18 คือ 1 , 2 , 3 , 6 , 9 ,18
ดังนั้น ตัวประกอบร่วมของ 12 และ 18 คือ 1 , 2 , 3 , 6
ห.ร.ม. บางทีเรียกว่า หารร่วมมาก หมายถึง ตัวหารร่วมที่มีค่ามากที่สุด
ห.ร.ม. จะเกิดขึ้นเมื่อมีจำนวนนับตั้งแต่ 2 จำนวนขึ้นไป
การหาร ห.ร.ม. สามารถหาได้หลายวิธี ดังนี้
วิธีที่ 1 วิธีหาตัวประกอบ มีขั้นตอนดังนี้
1) หาตัวประกอบของจำนวนนับที่กำหนดให้
2) หาตัวประกอบร่วม (ตัวหารร่วม) ของจำนวนนับในข้อ 1
3) นำตัวหารร่วมที่มีค่ามากที่สุดในข้อ 2 เป็น ห.ร.ม.
ตัวอย่าง จงหา ห.ร.ม.ของ 12 , 18
ตัวประกอบของ 12 คือ 1 , 2 , 3 , 4 ,6 , 12
ตัวประกอบของ 18 คือ 1 , 2 , 3 , 6 , 9 ,18
ตัวประกอบร่วมของ 12 และ 18 คือ 1 , 2 , 3 , 6
ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 12 และ 18 คือ 6
วิธีที่ 2 วิธีแยกตัวประกอบ
มีขั้นตอนดังนี้
1) แยกตัวประกอบของจำนวนนับที่กำหนดให้
2) พิจารณาผลในข้อ 1 ว่ามีจำนวนใดซ้ำกันทุกบรรทัดบ้าง
3) นำจำนวนที่ซ้ำกันในข้อ 1 คูณกัน
4) ผลคูณที่ได้จากข้อ 3 เป็น ห.ร.ม.
ตัวอย่าง จงหา ห.ร.ม.ของ 12 , 18
12 = 2 x 2 x 3
18 = 2 x 3 x 3
ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 12 และ 18 คือ 2 x 3 = 6
วิธีที่ 3 วิธีตั้งหาร มีขั้นตอนดังนี้
1) หารจำนวนนับที่กำหนดให้ด้วยตัวประกอบเเฉพาะของมัน
2) หารผลหารที่ได้จากข้อ 1 ด้วยตัวประกอบเฉพาะ
3) ในกรณีที่ไม่มีตัวประกอบเฉพาะใดหารผลหารได้ลงตัวทั้งหมด จะหยุดทำการหารทันที
4) นำตัวหารทั้งหมดคูณกัน ผลคูณที่ได้คือ ห.ร.ม.
ตัวอย่าง จงหา ห.ร.ม.ของ 12 , 18
2 ) 12 , 18
3 ) 6 , 9
2 , 3
ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 12 และ 18 คือ 2 x 3 = 6
วิธีที่ 4 วิธียูคลิก เป็นวิธีการหา ห.ร.ม. ที่เหมาะในกรณีที่มีจำนวนนับ 2 จำนวน และจำนวนนับนั้นมีค่ามาก ๆ ซึ่งมีขั้นตอนดังนี้
1) นำจำนวนนับที่มีค่าน้อยไปหารจำนวนนับที่มีค่ามาก
2) จากข้อ 1 ถ้ามีเศษ ให้นำเศษไปหารำนวนนับที่เป็นตัวหารในข้อ 1
3) ปฎิบัติเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ จนกระทั่งพบว่าจำนวนนับใดที่เหลือจากการหารแล้วหารลงตัว จำนวนนั้นแหละคือ ห.ร.ม.
ค.ร.น.. จะเกิดขึ้นเมื่อมีจำนวนนับตั้งแต่ 2 จำนวนขึ้นไป
การหาร ค.ร.น.สามารถหาได้หลายวิธี ดังนี้
วิธีที่ 1 วิธีหาตัวประกอบ มีขั้นตอนดังนี้
1) หาว่าจำนวนนับที่กำหนดมาให้เป็นตัวประกอบของจำนวนใดบ้าง
2) หาตัวคูณร่วมของข้อ 1
3) นำตัวคูณร่วมที่มีค่าน้อยที่สุดในข้อ 2 เป็น ค.ร.น.
ตัวอย่าง จงหา ค.ร.น. ของ 12 , 18
12 เป็นตัวประกอบของ 12 , 24 , 36 , 48 , 60 , 72 , ...
18 เป็นตัวประกอบของ 18 , 36 , 54 , 72 , 90 , ...
ตัวคูณร่วมของ 12 และ 18 คือ 36 ,72 , ...
ดังนั้น ค.ร.น.. ของ 12 และ 18 คือ 36
วิธีที่ 2 วิธีแยกตัวประกอบ มีขั้นตอนดังนี้
1) แยกตัวประกอบของจำนวนนับที่กำหนดให้
2) พิจารณาผลในข้อ 1 ว่ามีจำนวนใดซ้ำกันทุกบรรทัดบ้าง ในกรณีที่ไม่มีจำนวนซ้ำกันทุกบรรทัด สามารถลดหลั่นลงได้
3) นำจำนวนที่ได้ในข้อ 2 คูณกัน
4) ผลคูณที่ได้จากข้อ 3 เป็น ค.ร.น.
ตัวอย่าง จงหา ห.ร.ม.ของ 12 , 18
12 = 2 x 2 x 3
18 = 2 x 3 x 3
ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 12 และ 18 คือ 2 x 3 x 2 x 3 = 36
หรือ ห.ร.ม. ของ 12 และ 18 คือ
x 
วิธีที่ 3 วิธีตั้งหาร มีขั้นตอนดังนี้
1) หารจำนวนนับที่กำหนดให้ด้วยตัวประกอบเเฉพาะของมัน
2) ในกรณีที่หารไม่ลงตัวทั้งหมด สามารถลดหลั่นได้ตามลำดับ
3) หารไปเรื่อย ๆ จนผลหารของทุกจำนวนมีค่าเท่ากับ 1
4) นำตัวหารทั้งหมดคูณกัน ผลคูณที่ได้คือ ค.ร.น.
ตัวอย่าง จงหา ห.ร.ม.ของ 12 , 18
2 ) 12 , 18
3 ) 6 , 9
2 )2 , 3
3 )1 , 3
1 , 1
ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 12 และ 18 คือ 2 x 3 x 2 x 3 = 36
หรือ ห.ร.ม. ของ 12 และ 18 คือ
x
การแบ่งสิ่งของ หรือแม้กระทั่งการก่อสร้าง เช่น ติดหลอดไฟ คำนวณกระเบื้องปูพื้น เป็นต้น
ลักษณะของโจทย์ปัญหา ห.ร.ม. มีข้อที่น่าสังเกตคือ โจทย์นั้น ๆมักมีข้อความหรือคำที่มีความหมายในลักษณะ
"มากที่สุด" ในกรณีที่มีสิ่งของหลาย ๆชนิดมักมีเงื่อนไขเพิ่มเติมคือ "ไม่ปนกัน" เป็นต้น
ตัวอย่าง ต้องการจัดมังคุด 27 ผล เงาะ 36 ผล และ ละมุด 18 ผล ใส่จาน โดยมีที่ให้แต่ละจานมีจำนวนผลไม้มากที่สุด
และไม่ให้ผลไม้ในแต่ละจานปนกัน จะสามารถจัดได้จานละกี่ผล และจัดได้กี่จาน
วิธีทำ 3 ) 27 , 36 , 18
3 ) 9 , 12 , 6
3 , 4 , 2
ดังนั้น จะสามารถจัดได้จานละ 3 x 3 = 9 ผล
จัดได้ทั้งหมด 3 + 4 + 2 = 9 จาน